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第72章 数学省赛（第2页）

学弟，学妹们，你们自求多福吧！

这次数学省赛，张尧三人这次并不在一个考场。数学省赛考试分两场。

第一场考试在上午的八点到九点二十。一共有八道填空题每题八分，三道大题，第一题十二分，后两题2o分，满分一共12o分。

这张试卷和张尧初赛做的类似，难度要再上升一个档次。

整张试卷最难的是一道集合题，对于整数n≥4，求出最小的整数f（n），使得对于任何正整数m，集合（m，m+1，...，m+-1）的任一个f（n）元子集中，均至少有3个两两互素的元素。

这题考到了素数和集合相结合的问题，难度比较大。

素数一项是数学猜想中的难点，不过这题和猜想没法比。只不过需要做题者足够的细心，需要考虑情况有点多。这题是耗费张尧时间最长的一道题。

不过这种题有一种好处，只要能想起来怎么写，写出来就大概率没问题。

数学竞赛很难会空很长时间，大部分学生都是打铃之后才选择交卷。

已经放弃的除外。

这张试卷考完之后，下一场就在九点四十，这场属于附加赛。这些题目就属于那种和高考完全脱钩的题目了。

如果不选择走竞赛这条路，这些题都可以直接放弃了。

第二场从九点四十到十二点半。一共三个小时不到，满分18o分，一共四道题。前面两题各4o分，后面两题各5o分。

看起来时间比较宽裕，但给的时间越长题目越难！

二试的每一道题都非常的简练，其实这不是一件好事。所有的题目都分三个方向来考学生，一是审题，二是思考，三是计算。

有些题看着一大串字，这种题却并不可怕。因为它的难度大部分都集中在了审题上了，只要你能把题目搞懂，题目做起来还是不难的！

有些题题目非常简练，这样的题就要小心了。因为它的难度可能集中在后两项中。

第一题考的是三角形和不等式

题干设三角形abc三边长为a，b，c，有不等式

∑（b-c）2≥13∑b＋ca（b-c）2，试证不等式1中的系数13是最优的。

这题需要将系数13一般化，设为k然后证明k的取值范围≤13就可。这题在第一题难度相对不大。

第二题求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1uoo3d66p

这题难度也不太离谱，假设法设未知数，最后求得vuoo3d17或5oo3d76，即当且仅当puoo3d76时，方程三根均是正整数：1，17，59

从第三题就有点不好搞了，这是一道数列题。

设auoo3d1，+an-2，nuoo3d3，4，...。证明：对整数n≥5，an必有一个模4余1的素因子。

这题张尧花了不少时间，数学归纳法在这题上用的出神入化，另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。

求解过程相当复杂，就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。

最后一题是考的是染色问题，染色问题属于杂题，但在猜想中与其相关的不少。

题干为能否把1，1，2，2，3，3，...，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，...，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论

证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个。证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个

现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是993个偶数，占据白点a，uoo3d993个，黑色b，uoo3d993个．

993个奇数，占据白点a，uoo3d2a个，黑点bguoo3d2b个，其中a+buoo3d993.因此，共占白色auoo3da，+a，uoo3d993+2a个．

黑点buoo3db，+b，uoo3d993+2b个，

由于a+buoo3d993（非偶数！）a≠b，从而得a≠b．这与黑、白点各有1986个矛盾．故这种排法不可能．

这题其实比上一题要来的简单，不过染色问题很少做最后一题考，一下子遇到还是有点难办！

这张试卷写完后，张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大，不比往年要难。只能说差不多罢了。

也不怪张尧这样想，他参加的竞赛太多了，有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。但其实也不尽然，有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。

写完后大概还剩三十分钟的时间。张尧把真张试卷都检查了一下，尤其检查是不是有笔误，数学试题的解答过程很长，如果出现这种错误，对评分影响很大。

检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试，最好用的莫过于反证法。一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。

但张尧没把最后的结果写上，这只是他的一种尝试而已，并不完全正确。所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。